Bài 3. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\);
b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\);
c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}>\frac{1}{x^{2}+1};\)
d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\).
Giải
a) Tương đương. Vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \(-1\) và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2.
b) Chuyển vế các hạng tử vế phải sang vế trái ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ hai tương đương.
c) Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{x^{2}+1} > 0\) với mọi \(x\) ta được bất phương trình thứ 3.
d) Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: \(D =[1;+\infty)\).
\(2x + 1 > 0, ∀x ∈ D\).
Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \((2x + 1) \) ta được phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình tương đương.