Bài 4. Cho \(a, b\) là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \({{{a^}\left( {{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^}} \right)} \over {{a^}\left( {{a^} + {a^{{{ - 1} \over 4}}}} \right)}}\) ;
b) \({{{b^}\left( {\root 5 \of {{b^4}}  - \root 5 \of {{b^{ - 1}}} } \right)} \over {{b^}\left( {\root 3 \of b  - \root 3 \of {{b^{ - 2}}} } \right)}};\)
c) \({{{a^}{b^{{{ - 1} \over 3}}} - {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^}} \over {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {{b^2}} }}\);
d) \({{{a^}\sqrt b  + {b^}\sqrt a } \over {\root 6 \of a  + \root 6 \of b }}\)
Giải
a)  \({{{a^}\left( {{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^}} \right)} \over {{a^}\left( {{a^} + {a^{{{ - 1} \over 4}}}} \right)}}\) \( = {{{a^}{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^}{a^}} \over {{a^}{a^} + {a^}{a^{{{ - 1} \over 4}}}}}\)
\( = {{{a^} + {a^}} \over {{a^} + {a^}}} = {{{a^1} + {a^2}} \over {{a^1} + {a^0}}} = {{a\left( {1 + a} \right)} \over {a + 1}} = a\)
b) \({{{b^}\left( {\root 5 \of {{b^4}}  - \root 5 \of {{b^{ - 1}}} } \right)} \over {{b^}\left( {\root 3 \of b  - \root 3 \of {{b^{ - 2}}} } \right)}} = {{{b^}\left( {{b^} - {b^{{{ - 1} \over 5}}}} \right)} \over {{b^}\left( {{b^} - {b^{{{ - 2} \over 3}}}} \right)}}\)
\(= {{{b^} - {b^}} \over {{b^} - {b^}}} = = 1\) ( Với điều kiện b ≠ 1)
c) \({{{a^}{b^{{{ - 1} \over 3}}} - {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^}} \over {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {{b^2}} }}\) \(= {{{a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}}\left( {{a^} - {b^}} \right)} \over {{a^} - {b^}}}\)
\( = {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} = {1 \over {{a^}{b^}}} = {1 \over {\root 3 \of {ab} }}\) ( với điều kiện a ≠ b).
d) \({{{a^}\sqrt b  + {b^}\sqrt a } \over {\root 6 \of a  + \root 6 \of b }}\) \(= {{{a^}{b^} + {b^}{a^}} \over {{a^} + {b^}}}\)
\(= {{{a^}{b^} + {b^}{a^}} \over {{a^} + {b^}}} = {{{a^}{b^} + {b^}{a^}} \over {{a^} + {b^}}}\)
\(= {{{a^}{b^}\left( {{a^} + {b^}} \right)} \over {{a^} + {b^}}} = {a^}{b^} = {a^}{b^} = \root 3 \of {ab} .\)