Bài 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \((C)\) của hàm số
\(f(x)  = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\)
b) Giải bất phương trình \(f’(x-1)>0\)
c) Vẽ phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\)tại điểm có hoành độ \(x_0\), biết rằng \(f’’(x_0) = -6\)
Trả lời:
a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
* Sự biến thiên:  
\(y' = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 3 \)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-1;3)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; -1)\) và \((3;+\infty)\)
- Cực trị:
    Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\); \(y_{CĐ}=29\)
    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-3\)
- Giới hạn:
   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty\)
   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \)
-Bảng biến thiên:

* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)
Đồ thị hàm số nhận \(I(1;13)\) làm tâm đối xứng.

b) \(y=f(x) = f(x)  = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\)
\(f’(x) = - 3{x^2} + 6x + 9 = 0\). Do đó:
\(f’(x-1)=-3(x-1)^2+6(x-1)+9\)
= \(-3x^2+ 12x = -3x(x-4) > 0 ⇔ 0 < x < 4\)
c) \(f’’(x) = -6x+6\)
\(f’’(x_0)= -6 ⇔ -6x_0+ 6 = -6 ⇔ x_0= 2\)
Do đó: \(f’(2) = 9, f(2) = 24\). Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(x_0= 2\) là:
\(y=f’(2)(x-2) + f(2)\) hay \(y = 9x+6\).