Bài 6. Trong không gian cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABC'D'\) có chung cạnh \(AB\) và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm \(O\) và \(O'\). Chứng minh rằng \(AB ⊥ OO'\) và tứ giác \(CDD'C'\) là hình chữ nhật.
Giải
(h.3.20)

 
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AO})\)
                  \(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}\)
                  \(= AB.AO'.\cos45^{0} - AB.AO.\cos45^{0}\)
                  \(= 0\). 
Vậy \(AB ⊥ OO'\).
   Mặt khác ta có \(CD\) song song và bằng \(C'D'\) nên \(CDC'D'\) là hình bình hành. \(AB\) vuông góc với \(BC\) và \(BC'\) nên \(AB\) vuông góc với \((BCC')\)\( \Rightarrow AB ⊥ CC'\); mà \(CD // AB \Rightarrow CD ⊥ CC'  \Rightarrow  CDD'C'\) là hình chữ nhật.