66. Ta biết 11² = 121;    111² = 12321.
Hãy dự đoán: 1111² bằng bao nhiêu? Kiểm tra lại dự đoán đó.
Bài giải:
Qua hai kết quả tính 11² và 111² ta thấy các kết quả này được viết bởi một số có một số lẻ các chữ số. Các chữ số đứng hai bên chữ số chính giữa đối xứng với nhau và các chữ số bắt đầu từ chữ số đầu tiên bên trái đến chữ số chính giữa là những số tự nhiên liên tiếp đầu tiên. Vì thế có thể dự đoán
1111² = 1234321.
Thật vậy, 1111² = (1000 + 111)(1000 + 111) = 1000² + 111000 + 111000 + 111² = 1000000 + 222000 + 12321 = 1234321.
Lưu ý: Tương tự ta có thể kết luận:
^{111112 = 123454321; 1111112 = 12345654321;...}

111111111² = 12345678987654321.
Tuy nhiên với 1111111111² (có 10 chữ số 1) thì quy luật này không còn đúng nữa. Thật vậy,
1111111111²= 1000000000²  + 222222222000000000 + 111111111² = 1000000000000000000 + 222222222000000000 + 12345678987654321 = 12345678900987654321.