Bài 71.  Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Lấy \(M\) là một điểm bất kì thuộc cạnh \(BC\). Gọi \(MD\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB\), \(ME\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AC\), \(O\) là trung điểm của \(DE\).
a) Chứng mình rằng ba điểm \(A, O, M\) thẳng hàng.
b) Khi điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC\) thì điểm \(O\) di chuyển trên đường nào?
c) Điểm \(M\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) thì \(AM\) có độ dài nhỏ nhất?
Bài giải:

a) Tứ giác \(ADME\) có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\)
nên tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật
\(O\) là trung điểm của đường chéo \(DE\) do đó \(O\) cũng là trung điểm của \(AM\).
Vậy \(A, O, M\) thẳng hàng
b) Kẻ \(AH ⊥ BC\).
Cách 1:
Kẻ \(OK ⊥ BC\). Ta có \(OA = OM, OK // AH\) (do cùng vuông góc với \(BC\)).
Suy ra \(OK = {1 \over 2}AH\)
Điểm \(O\) cách đoạn \(BC\) cố định một khoảng không đổi bằng \({1 \over 2}AH\).
Mặt khác khi \(M\) trùng \(C\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AC\), khi \(M\) trùng \(B\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AB\).
Vậy \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Cách 2:
Vì \(O\) là trung điểm của \(AM\) nên \(HO\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\). Do đó \(OA = OH\). Suy ra điểm \(O\) di chuyển trên đường trung trực của \(AH\).
Mặt khác vì \(M\) di chuyển trên đoạn \(BC\). Vậy điểm \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của \(ABC\).
c) Ta có \(AH\) là đường cao hạ từ \(A\) đến \(BC\) do đó \(AM\ge AH\). Vậy \(AM\) nhỏ nhất khi \(M\) trùng \(H\).