Bài 8. Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.
Giải

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có:
      \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Tương tự ta có:        
  \(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 (1) \cr
& \cr} \)   
Gọi \(G\) là trong tâm của tam giác \(MPR\), ta có:
        \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 (2)\)
Mặt khác : 
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}  = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG} } \right) + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} (3)\)
Từ (1),(2), (3) suy ra: \(\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS\)