Bài 82. Chứng minh:
a) \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực \(x\) và \(y\);
b) \(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\).
Giải
a) \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực \(x\) và \(y\)
Ta có \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1\)
=\({\left( {x - y} \right)^2} + 1 > 0\) do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x, y\).
b) \(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\).
Ta có \(x - {x^2} - 1 =  - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
=\( - \left[ {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {{\left( \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\)
= \( - \left[ {{x^2} - 2x.{1 \over 2} + {{\left( \right)}^2}} \right] - {3 \over 4}\)
=\( - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {3 \over 4} < 0\)  với mọi \(x\)
do \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \(-{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)