Bài tập trắc nghiệm Hình học 12: Mặt cầu (Phần 4)

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 45^o . Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBD) theo a là :

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có. SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Góc giữa cạnh bên SB và đáy bằng 45^o . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là :

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Câu 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 4a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là :

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa SA và đáy là 60^o , SA = 2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 6:

Gọi S(A ; r) là mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBD), khi đó ta có r = d(A; (SBD))

Từ giả thiết ta có :

=> SA = AC = 2a√2

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Hạ AH ⊥ SO tại điểm H. Do BD ⊥ AC, BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ AH mà AH ⊥ SO nên AH ⊥ (SBD).

Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Xét tam giác vuông SAO ta có :

Câu 7:

Gọi S(A;r) là mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a, khi đó ta có

Từ giả thiết ta có :

=> AB = SA = 2a

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Hạ AH ⊥ SO tại điểm H. Do BD ⊥ AC, BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ AH mà AH ⊥ SO nên AH ⊥ (SBD).

Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Xét tam giác vuông SAO ta có :

Câu 8:

Theo định lí ba đường vuông góc ta có hai tam giác SBC và SDC lần lượt vuông góc tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC thì ta có : IA = IB = ID = SC/2 = IS = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Câu 9:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC và Δ là đường thẳng qua O song song với SA. Khi đó Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng (SA,Δ), đường trung trực của SA cắt  tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó AOIM là hình chữ nhật. Ta có :

Câu 10:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó SO ⊥ (ABCD) và SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Từ giả thiết ta có :

=> SO = SA.sin60^o = a√3

Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó ta có :