Cho hàm số: y = x⁴ + ax² + b
a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \({3 \over 2}\) khi x = 1
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a = {{ - 1} \over 2},b = 1\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1
Trả lời:
Ta có: y’ = 4x³ + 2ax
a) Nếu hàm số có cực trị bằng \({3 \over 2}\) khi x = 1 thì:
\(\left\{ \matrix{
y'(1) = 0 \hfill \cr
y(1) = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4 + 2a = 0 \hfill \cr
1 + a + b = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
b) Khi \(a = {{ - 1} \over 2},b = 1\) ta có hàm số: \(y = {x^4} - {1 \over 2}{x^2} + 1\)
_ Tập xác định: (-∞, +∞)
_ Sự biến thiên: y’ = 4x³ – x = x(4x² – 1)
y’ = 0 ⇔ x = 0, \(x =  \pm {1 \over 2}\)
Trên các khoảng \(({{ - 1} \over 2},0) \cup ({1 \over 2}, + \infty )\) , y’ > 0 nên hàm số đồng biến
Trên các khoảng \(( - \infty, {{ - 1} \over 2}) \cup (0,{1 \over 2})\) , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến
_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CD = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm {1 \over 2},{y_{CT}} = {{15} \over {16}}\)
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1, không cắt trục hoành.
c) Với y = 1 ta có phương trình:
 \({x^4} - {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\)
Trên đồ thị có 2 điểm với tung độ bằng 1 là:
 \({M_1}({{ - 1} \over {\sqrt 2 }},1);{M_2}(0,1);{M_3}({1 \over {\sqrt 2 }},1)\)
Ta lấy y’(0) = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại M₂ có phương trình là y = 1
Lại có:
\(y'({1 \over {\sqrt 2 }}) = {1 \over {\sqrt 2 }};y'({1 \over {\sqrt 2 }}) = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\)
\(y = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2} \Leftrightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2}\)