Không mất tính tổng quát, ta giả sử 1⩾a⩾b⩾c⩾d⩾01⩾a⩾b⩾c⩾d⩾0 (do a+b+c+d=1a+b+c+d=1 và a,b,c,da,b,c,d không âm)
Khi đó ta có
S=|a−b|+|b−c|+|a−c|+|c−d|+|a−d|+|b−d|=a−b+b−c+a−c+c−d+a−d+b−d=3a+b−c−3dS=|a−b|+|b−c|+|a−c|+|c−d|+|a−d|+|b−d|=a−b+b−c+a−c+c−d+a−d+b−d=3a+b−c−3d
Thay b=1−a−c−db=1−a−c−d
S=2a−2c−4d+1⩽2⋅1−2⋅0−4⋅0+1=3(do a⩽1;c,d⩾0)S=2a−2c−4d+1⩽2⋅1−2⋅0−4⋅0+1=3(do a⩽1;c,d⩾0)
Vậy Smax=3Smax=3 tại a=1;b=c=d=0a=1;b=c=d=0 và các hoán vị