ta chứng minh bdt:
3(a^2 + b^2 + c^2) >= (a + b + c)^2
thật vậy , xét hiệu, ta được
3(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)^2
= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 >= 0 với mọi a, b, c
suy ra bdt được chứng minh, áp dụng, ta được
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≥ 1/3.(a + b + c + 1/a + 1/b + 1/c)^2
= 1/3.(1 + 1/a + 1/b + 1/c)^2
áp dụng bdt: 1/a + 1/b + 1/c >= 9/(a + b + c)
(chứng minh thì chỉ cần tích chéo rồi dùng co si)
suy ra (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≥ 1/3.(1 + 9/ (a + b + c))^2 = 1/3. (1 + 9)^2
suy ra (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≥ 100/3
dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1/3