a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)
BE = DC (gt)
⇒AB+BE=CD+DG⇒AB+BE=CD+DG hay AE = CG
Xét ΔAHEΔAHE và ΔCFG(c.g.c)ΔCFG(c.g.c) \Rightarrow HE = FG\)
Chứng minh tương tự ta có HG = FG
Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).
b) Nối E và G. Xét ΔOBEΔOBE và ΔODGΔODG có BE = DG (gt), ˆOBE=ˆODGOBE^=ODG^ (so le trong), OB = OD (tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)
⇒ΔOBE=ΔODG(c.g.c)⇒ΔOBE=ΔODG(c.g.c)
⇒ˆBOE=ˆDOG⇒BOE^=DOG^
Mà ˆDOG+ˆGOB=180∘DOG^+GOB^=180∘ (B, O , D thẳng hàng)
⇒ˆDOG+ˆGOB=180∘⇒⇒DOG^+GOB^=180∘⇒ Ba điểm G, O, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.
Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
c) Hình bình hành EFGH là hình thoi ⇔HE=EF⇔HE=EF
⇔ΔHAE=ΔEBF(c.c.c)⇔ΔHAE=ΔEBF(c.c.c)
⇔ˆHAE=ˆEBF⇔HAE^=EBF^ mà ˆEBF=ˆEADEBF^=EAD^ (đồng vị)
⇔ˆHAE=ˆEAD⇔HAE^=EAD^ mà ˆHAE+ˆEAD=180∘HAE^+EAD^=180∘ (kề bù)
⇔ˆHAE=ˆEAD=90∘⇔⇔HAE^=EAD^=90∘⇔ hình thoi ABCD có 1 góc vuông.
⇔ABCD⇔ABCD là hình vuông.
Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.