a, xét tam giác BAD và tam giác BDE có 
góc BAD =góc BED
BD chung 
góc ABD=góc EBD
=> tam giác BAD=tam giác BDE (cạnh huyền -góc nhọn)
=> BA=BE (2 cạnh tương ứng)=> B thuộc đường trung trực của AE
DA=DE (hai cạnh tương ứng)=> D thuộc đường trung trực của AE
=> BD là đường trung trực của AE
b, xét tam giác ADF và tam giác EDC có
góc DAF= góc DEC=90 độ
DA=DE
góc ADF=góc EDC
=> tam giác ADF=tam giác EDC (cạnh góc vuông-góc nhọn)
=> DF=DC (hai cạnh tương ứng)

c, tam giác ADF , góc F=90 độ
có AD là cạnh góc vuông, DF là cạnh huyền 
=> AD<DF
mà DF=DC(cmt)
=> AD<DC
d. tam giác ADF=tam giác EDC(cmt)
=> AF=EC(2 cạnh tương ứng)
có BF=AB+AF
BC=EB+EC
mà AB=EB(cmt)
=>BF=BC
tam giác FBD=tam giác CBD(c.g.c) vì
BF=BC(cmt)
BD cạnh chung 
góc FBD= góc CBD
=> góc BDF=góc BDC(2 cạnh tương ứng)
mà góc BDF+góc BDC=180 độ(kề bù)
=>2.góc BDF=180 độ
<=> góc BDF=90 độ
=> BD vuông góc với FC 
mà BD//AE
=> FC//AE