câu a)

Nếu tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.

Do tính chất đối xứng 

=>DM=DH

Mặt khác do D là trung điểm BC

=>DB=DC

=>BMCH là hình bình hành

=>BH=MC,BH//MC(*)

Tương tự AMCI là hình bình hành

=>AI=MC,AI//MC(**)

Từ (*) và (**) 

ta sẽ có:BH=AI,BH//AI

=>AIHB là hình bình hành.

=>AH cắt BI tại trung điểm BI

Tương tự KIBC là hbh

=>KC cắt BI tại trung điểm BI

Do đó AH,KC,BI đồng quy tại điểm O(Chính là trung điểm BI)

b)Gọi giao điểm của AM và OM là G

Do: OA=OH,DH=DM

=>OD là đường trung bình tam giác AHM

=>OD//AM và OD=AM/2

Áp dụng tales

=>AG/GD=2

Mà D là trung điểm BC

=>G là trọng tâm tam giác ABC

=>G cố định