Giải thích các bước giải:

a, Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông (ˆAA^, ˆDD^, ˆEE^)

⇒ ADHE là hình chữ nhật mà AH, DE là 2 đường chéo

⇒ AH = DE (đpcm)

b, HD ⊥ AB và AC ⊥ AB ⇒ HD ║ AC 

⇒ ˆPHDPHD^ = ˆHCAHCA^ (đồng vị) 

ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P

⇒ ˆPHDPHD^ = ˆPDHPDH^

ADHE là hình chữ nhật ⇒ ˆADEADE^ = ˆAHEAHE^

mà ˆAHEAHE^ = ˆHCAHCA^ (cùng phụ với ˆHAEHAE^)

⇒ ˆADEADE^ = ˆHCAHCA^ = ˆPHDPHD^ = ˆPDHPDH^

Ta có: ˆADEADE^ + ˆEDHEDH^ = 90o90o

⇒ ˆPDHPDH^ + ˆEDHEDH^ = 90o90o

⇒ ˆPDEPDE^ = 90o90o ⇒ DP ⊥ DE

Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE

⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)

c, Xét ΔHAC có O là trung điểm của HA, Q là trung điểm của HC

⇒ OQ là đường trung bình ⇒ OQ ║ AC ⇒ OQ ⊥ AB

Xét ΔABQ có QO, AH là 2 đường cao cắt nhau tại O

⇒ O là trực tâm ΔABQ (đpcm)

d, Ta có:

SABCSABC = 1212.AH.BC = PQ.AH (1)

SDEQPSDEQP = 1212.(DP + EQ).DE = 1212.(DP + EQ).AH = 1212.(HP + HQ)AH = 1212.PQ.AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SABCSABC = 2.SDEQPSDEQP (đpcm