​1) 
Xét tứ giác AHMK, ta có :
góc HAK + góc AKM + góc KMH + góc MHA = 360°
=> 90° + 90° + góc KMH + 90° = 360°
=> góc KMH = 90°
=> tứ giác AHMK là hình chữ nhật.
2)
- Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: 
BM = CM (gt)  HM // AC ( vì tứ giác AHMK là hình chữ nhật -> HM // AK -> HM // AC)
=> HM là đường trung bình của tam giác ABC 
=> BH = AH ( tính chất đường trung bình của tam giác  )
Vậy H là trung điểm của AB.
- Vì AH // KM ( AHMK là hình chữ nhật )
=> HB // MK (1)
Vì HB = 1/2 AB
HA = 1/2 AB
=> HB = HA 
=> HB = MK ( dấu hiệu nhận biết ) (2)
Từ (1) và (2) 
=> tứ giác HBMK là hình bình hành 
=> BK và HM cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường
Vậy B, E , K thẳng hàng.
3)
- Ta có:
HA // MK ( vì tứ giác AMHK là hình chữ nhật )
=>  BA // MD (1)
và  AD // BM (gt) (2)
Từ (1) và (2) 
=> tứ giác BMDA là hình bình hành.
- Ta có:
AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC 
=> AM = 1/2BC = BM = MC
Xét tứ giác MCDA, ta có:
AM = AD (gt)
AM = MC (cmt)
=> AM = AD = MC
mà MD và AC cắt nhau tại K và K = 90°
=> tứ giác MCDA là hình thoi.