2005^2007 + 2007^2005
= (2005^2007 + 1) + (2007^2005 - 1)
(2005^2007 + 1) chia hết cho 2005 + 1 =2006
(2007^2005 - 1) chia hết cho 2007 - 1 = 2006
--> 2005^2007 + 2007^2005 chia hết cho 2006.

Bài 1. Chứng minh:
- 2^60 + 5^30 chia hết cho 41.
2^60+5^30
= 2^4.15+5^2.15
= (2^4)^15+(5^2)^15
= 16^15+25^15 16^15+25^15 chia hết cho 41 do 16+25=41 và ^15 là số lẻ
Vậy 2^60 + 5^30 chia hết cho 41
- 2005^2007 + 2007^2005 chia hết cho 2006.
2005^2007 + 2007^2005
= 2005^2007 + 1^2007 + 2007^2005 - 1^2005
= (2005^2007 + 1^2007) + (2007^2005 - 1^2005)
2005^2007 + 1^2007 luôn chia hết cho 2006 do 2005 + 1 = 2006 và ^2007 là số lẻ
2007^2005 - 1^2005 luôn chia hết cho 2006 do 2007 - 1 = 2006 và ^2005 là số lẻ
=> (2005^2007 + 1^2007) + (2007^2005 - 1^2005) chia hết cho 2006
Vậy 2005^2007 + 2007^2005 chia hết cho 2006

Bài 2
với n lẻ thì
24^n + 1 chia hết cho 24+1 = 25 (1)
24^n + 1 = 24^n - 1 + 1
do 24^n - 1 chia hết cho 24 - 1 = 23, nhưng 1 không chia hết cho 23
nên 24^n + 1 không chia hết cho 23 (2)
Từ (1), (2) ta có đpcm