c.
xét 2 tam giác MDK và MFD đồng dạng có một góc chung là M
và góc MDK = MFD(do chắn 2 cung bằng nhau MD và ME)
suy ra MD/MF = MK/MD
suy ra MD^2 = MK.MF
gọi I là giao điểm của MB và đường tròn O
ta có
IC vuông góc với BM(chắn nửa đường tròn)
gọi K' là giao điểm của IC và MF
K' là trực tâm của tam giác MBC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có
MI.MB = MK'.MF = MK.MF =MD^2
suy ra K' trùng K
vậy K là trực tâm của tam giác MBC
d.
do tính chất của trực tâm H trong tam giác ABC
ta có
FH.FA = FB.FC
do K là trực tâm của tam giác MBC
ta có
FK.FM = FB.FC
suy ra 2FH.FA = FK.2FM = FK.(FH +FA)
(vì M là trung điểm của AH nên 2FM = FH + FA)
suy ra 2/FK = 1/FH + 1/FA