2)
cot(B/2) = (a + c)/b 
a = 2R.sinA 
=> (a + c)/b = (SinA + sinC)/sinB 
= 2.sin[(A+C)/2].cos((A-C)/2)/(2.sinB/2.co... 
= cos(B/2).cos((A-C)/2)/(sinB/2 . cosB/2) 
= cos((A-C)/2)/sin(B/2) 
ta có: cot (B/2) = (a + c)/b 
=> cot(B/2) = cos((A-C)/2)/sin(B/2) 
=> cos(B/2)/sin(B/2) = cos((A-C)/2)/sin(B/2) 
(nhân cả 2 vế với sin(B/2)) 
cos(B/2) = cos((A-C)/2) 
<=>B/2 = (A-C)/2 
<=> B = A-C 
mà A + B + C = 180 
=> 2A = 180 => A = 90 
=> tam giác ABC vuông tại A

4)
1/sinA + cotA = (b + c)/a 
<=> (1 + cosA)/sinA = (2RsinB + 2RsinC)/2RsinA 
<=> 1 + cosA = sinB + sinC 
<=> 1 + cosA = 2sin(B + C)/2.cos(B - C)/2 
<=> 2cos^2(A/2) - 2cos(A/2).cos(B - C)/2 = 0 
<=> 2cos(A/2).[cos(A/2) - cos(B - C)/2] = 0 
<=> 4cos(A/2).sin(A + B - C)/4.sin(A - B + C)/4 = 0 
vì 0 < A/2 < 90o => cos(A/2) > 0 nên: 
sin(A + B - C)/4 = 0 => A + B - C = 0 => A + B = C = 90o => tg ABC vuông tại C 
Hoặc: 
sin(A - B + C)/4 = 0 => A - B + C = 0 => A + C = B = 90o => tg ABC vuông tại B

7)
(sinA + cosB)/(sinB + cosA) = tanA 
<=> (sinA + cosB)/(sinB + cosA) = sinA/cosA 
<=> (sinA + cosB - sinA/(sinB + cosA - cosA) = sinA/cosA 
( Áp dụng tính chất tỷ lệ thức a/b = c/d => (a - c)/(b - d) = a/b = c/d) 
<=> cotB = tanA = cot(90o - A) 
<=> B = 90 độ - A <=> A + B = 90 độ <=> tg ABC vuông tại C

Câu 1:
b/cosB + c/cosC = a/(sinBsinC) 
<=> 2abc/(a^2 + c^2 - b^2) + 2abc/(a^2 + b^2 - c^2) = 4aR^2/bc 
<=> 4a^3bc/[(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)] = 4aR^2/bc 
<=> (a^2 - b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2)R^2/(abc)^2 = 1        (1) 
Ta có: CotA = (b^2 + c^2 - a^2)R/abc 
(1) <=> CotBCotC = 1 
<=> tanB = CotC và tanC = CotB 
<=>  Δ ABC ⊥ tại A theo tỉ số lượng giác trong  Δ vuông

Câu 2:
cot(B/2) = (a + c)/b 
a = 2R.sinA 
=> (a + c)/b = (SinA + sinC)/sinB 
= 2.sin[(A+C)/2].cos((A-C)/2)/(2.sinB/2.co... 
= cos(B/2).cos((A-C)/2)/(sinB/2 . cosB/2) 
= cos((A-C)/2)/sin(B/2) 
Ta có: cot (B/2) = (a + c)/b 
=> cot(B/2) = cos((A-C)/2)/sin(B/2) 
=> cos(B/2)/sin(B/2) = cos((A-C)/2)/sin(B/2) 
(nhân cả 2 vế với sin(B/2)) 
cos(B/2) = cos((A-C)/2) 
<=>B/2 = (A-C)/2 
<=> B = A-C 
mà A + B + C = 180 
=> 2A = 180 => A = 90 
=>  Δ ABC ⊥ tại A