B1a) Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1)
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5)
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ]
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1)
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1)
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1)
Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp
=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 5 mà 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5
=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5.
=> a^5 - a chia hết cho 5
Mà a^5 chia hết cho 5 => a chia hết cho 5

B2 a) Ta có :
2^0 chia 7 dư 1
2^1 chia 7 dư 2
2^2 chia 7 dư 4
2^3 chia 7 dư 1
2^4 chia 7 dư 2
2^5 chia 7 dư 4
....
Ta thấy : Với 2^n thì :
+ Nếu n chia hết cho 3 thì 2^n chia 7 dư 1.
+ Nếu n chia 3 dư 1 thì 2^n chia 7 dư 2.
+ Nếu n chia 3 dư 2 thì 2^n chia 7 dư 4.
Vì 1994 chia 3 dư 2 nên 2^1994 chia 7 dư 4.

Câu 1
b. Ta có
n^3 + 6n^2 + 8n = n(n^2 + 6n + 8) = n(n + 2)(n + 4)
Do n chẵn nên n ; n + 2 và n + 4 là 3 số chẵn liên tiếp
=> Tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 4
=> n(n + 2)(n + 4) chia hết cho 2.2.4 = 16
Lại có, n(n + 2)(n + 4) = n.[(n + 3) + 1](n + 2)
=> n(n + 2)(n + 4) luôn chia hết cho 3
Mà (3, 16) = 1 => n(n + 2)(n + 4) chia hết cho 48
Vậy n^3 + 6n^2 + 8n luôn chia hết cho 48 với n chẵn (đpcm)
e. Do 2009 ≡ (-1) (mod 2010)
=> 2009^2010 ≡ (-1)^2010 ≡ 1 (mod 2010)
Vậy 2009^2010 không chia hết cho 2010 (đpcm)