Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:
BM^2 = BD^2 + DM^2 => BD^2 = BM^2 – DM^2 (1)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:
CM^2 = CE^2 + EN^2 => CE^2 = CM^2 – EM^2 (2)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:
AM^2 = AF^2 + FM^2 => AF^2 = AM^2 – FM^2 (3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
BD^2 + CE^2 + AF^2 = BM^2 – DM^2 + CM^2 – EM^2 + AM^2 – FM^2 (4)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:
BM^2 = BF^2 + FM^2 (5)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:
CM^2 = CD^2 + DM^2 (6)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:
AM^2 = AE^2 + EM^2 (7)
Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:
BD^2 + CE^2 + AF^2
= BF^2 + FM^2 – DM^2 + CD^2 + DM^2 – EM^2 + AE^2 + EM^2 – FM^2
= DC^2 + EA^2 + FB^2
Vậy BD^2 + CE^2 + AF^2 = DC^2 + EA^2 + FB^2.