Câu 2.
Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2)
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1)
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1]
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2)
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Câu 3.
Ta có : 3^(2n) - 9 = (3^n)^2 - 3^2 = (3^n + 3)(3^n - 3)
* 3^n + 3 chia hết cho 3
* 3^n - 3 chia hết cho 3
=> (3^n + 3)(3^n - 3) chia hết cho 9
Lại có 3^n + 3 và 3^n - 3 đều là số chẵn => (3^n + 3)(3^n - 3) chia hết cho 4.
+) Nếu 3^n + 3 chia 4 dư 2 thì 3^n - 3 sẽ chia hết cho 4
=> (3^n + 3)(3^n - 3) chia hết cho 2.4 = 8
+) Nếu 3^n + 3 chia hết cho 4 thì (3^n + 3)(3^n - 3) cũng chia hết cho 8
=> tích (3^n + 3)(3^n - 3) luôn chia hết cho 8.
Mà 8 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> 3^2n - 9 chia hết cho 8.9 = 72 (đpcm)

Câu 5.
Đặt A = a^2 +3a +2 <=> A = (a + 1)(a + 2)
A là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 2
ta chỉ việc tìm a để A chia hết cho 3 <=> (a + 1) hoặc (a + 2) chia hết cho 3
a + 1 chia hết cho 3 <=> a + 1 = 3k (k lớn hơn hoặc bằng 1) => a = 3k-1
a + 2 chia hết cho 3 <=> a + 2 = 3k (k lớn hơn hoặc bằng 1) => a = 3k-2
Vậy a = 3k - 1 hoặc a = 3k - 2 với k thuộc N, k lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa mãn bài toán.

Bạn CONAN KUN giải sai rồi. Nếu chứng minh chia hết cho 2;4;6 thi 3 số ấy phải nguyên tố cùng nhau chứ. VÍ DỤ số 12 hay số 24 chia hết cho cả 2;4;6 đấy nhưng ko chia hết cho 48

Vì n chẵn -> n=2k -> n^3+6n^2+8n​=(2k)^3+6(2k)^2+8.2k =8k^3+24k^2+16k =8k(k^2+3k+2) =8k(k+1)(k+2) Vì k(k+1)(k+2) là 3 số TN liên tiếp nên k(k+1)(k+2) chia hết cho 2;3 mà (2;3)=1-> k(k+1)(k+2) chia hết cho 6 -> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 6 hay n^3+6n^2+8n chia hết cho 48(dpcm)