a) tam giác BHK và tam giác BAD cùng là tam giác vuông có 2 góc B bằng nhau do BD là tia phân giác=> BHK đồng dạng với BAD (góc_góc)
tam giác BAK đồng dạng với tam giác BCD vì có 2 góc B bằng nhau, góc A và GÓc C bằng nhau vì cùng phụ với góc ABC​​
b) từ tam giác BHK đồng dạng với BAD ta có:
HK/AD = BH/BA
Trong tam giác ABH có BK là phân giác nên BH/BA = HK/AK (tính chất đường phân giác trong tam giác)
Suy ra HK/AD = HK/AK => AD = AK
lại có tam giác BAK đồng dạng BCD nên AK/DC = BK/BD
tam giác BHK đồng dạng BAD => BK/BD = HK/AD
do đó AK/DC=HK/AD => AK.AD = HK.DC. Mà AK=AD (cmt) nên AK^2 = HK.DC (đpcm)
c) xét tam giác ABH có Bk là phân giác nên ta có BH/BA = HK/AK (1)
theo ý b có AK = AD nên tam giác ADK cân tại A. mà M là trung điểm của DK suy ra AM đồng thời là đường cao của tam giác ADK
hay AM vuông góc với DK
Bx // AM suy ra Bx vuông góc BK
mà BK là phân giác trong của tam giác ABH nên Bx là phân giác ngoài của tam giác ABH hay BN là đường phân giác ngoài tại góc B của tam giác ABH
=> BH/BA = HN/AN ( theo tính chất đường phân giác của tam giác) (2)
từ (1) và (2) ta có HK/AK = HN/AN => HK.AN = HN.AK (đpcm)