b.
vì tứ giác AFDE nội tiếp
suy ra góc FAD = FED, và góc AEF = ADF(t/c tứ giác nội tiếp)
lấy 1 điểm K trên AD sao cho góc AFK = DFE;
từ góc AFK + DFK = AFD = DFE + AFE,
suy ra góc DFK = AFE.
do vậy tam giác AFK đồng dạng với tam giác EFD, và tương tự có △AFE đồng dạng với △KFD.
suy ra: AK/AF = DE/FE, và DK/FD = EA/FE
từ đó AK·FE = AF·DE, và DK·FE = FD·EA;
cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·FE + DK·FE = AF·DE + FD·EA;
hay: AD·FE = AF·DE + FD·EA
c.
vì tam giác ADB vuông tại D, đường cao DE, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có
AD^2 = AE.AB (1)
vì tứ giác EFCB nội tiếp (cmt) suy ra góc AEF = ACB mà góc ACB = ANB(cùng chắn cung AB)
suy ra góc AEF = ANB
mà góc BAN - chung
suy ra tam giác AET đồng dạng với ANB
suy ra AE/AN = AT/AB
hay AE.AB = AN.AT (2)
từ (1), (2) suy ra AD^2 = AN.AT