Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 32 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Chứng minh rằng nếu điểm M không nằm trên (P) và không nằm trên (Q) thì duy nhất một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b

Lời giải:

Giả sử c = mp(M, a) ∩ mp(M, b). Ta cần chứng minh c cắt cả a và b. Vì c và a cùng nằm trên một mặt phẳng và không thể trùng nhau (do c qua M và a không đi qua M) nên hoặc c // a hoặc c cắt b. Cũng vậy hoặc c // b hoặc c cắt b. Không thể xảy ra đồng thời c // a, c // b vì a, b chéo nhau. Vậy nếu c song song với a thì c phải cắt b , tức là c qua một điểm của mp(Q), và do đó M thuộc (Q) (trái giả thiết). Tương tự, không thể có c song song với b. Tóm lại c phải cắt a và b

Nếu còn có đường thẳng c’ khác đi qua M, cắt cả a và b thì a và b đồng phẳng. Vô lí