Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện

Bài 6 (trang 15 sgk Hình Học 12 nâng cao): Gọi Đ là phép đối xứng qua mp (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả sử Đ biến a thành đường thẳng a’. trường hợp nào thì:

a) a trùng a’     b) a song song với a’

c) a cắt a’     d) a và a’ chéo nhau

Lời giải:

Giữa a và (P) xảy ra các khả năng sau:

+ a ⊂ (P), khi đó, lấy điểm A bất kì trên a thì A∈ (P) nên Đ biến A thành A'≡ A. vậy Đ biến a thành a’ ≡a

+ a // (P). lấy 2 điểm A, B phân biệt trên a giả sử Đ biến A thành A’, E thành B’. Ta thấy tứ giác ABB’A’ là hình chữ nhật nếu A’B’ // AB hay a’ // a

+ a ⊥ (P). lấy A bất kì trên a. nếu Đ biến A thành A’ thì AA’ ⊥ (P) mà a ⊥ (P), (A) ∈ a => A'∈ a=> a'=a

+ a cắt (P) tại I nhưng không vuông góc với (P). Khi đó, Đ biến I thành chính nó (vì I ∈(P) và biến A ∈a (với A không trùng I) thành A’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của AA’. Vậy Đ biến AI thành A’I.

Do a không vuông góc với (P) nên dễ thấy A, I, A’ không thẳng hàng hay AI, A’I cắt nhau tại I tức a, a’ cắt nhau.

Vậy: a) a trùng với a’ nếu a ⊂ (P) hoặc a ⊥ (P).

b) a// a’ nếu a // (P)

c) a cắt a’ nếu a cắt (P) nhưng a không vuông góc với (P).

d) a, a’ chéo nhau không xảy ra.