Cách 1: (bđt Cosi) 
Điều kiện của pt là x >= 1. 
Áp dụng bđt cosi: 
(x-1) + 1/4 >= căn(x-1) 
<=> 13(x-1) + 13/4 >= 13.căn(x-1). 
<=> 13x - 39/4 >= 13.căn(x-1). (1) 

(x+1) + 9/4 >= 3.căn(x+1) 
<=> 3.(x+1) + 27/4 >= 9.căn(x+1). 
<=> 3x + 39/4 >= 9.căn(x+1). (2) 

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được: 
16x >= 13 căn(x-1)+9 căn(x+1). 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đồng thời xảy ra: 
x-1 = 1/4 
x+1 = 9/4 
Suy ra x=5/4. 

Như vậy nghiệm của pt đã cho là x=5/4. 
--------------------------------------... 
Cách 2: (bđt Bunhia Copxki): 
Bạn chú ý về thứ tự của các số: 

(16x)^2 
= 16x . 16x 
= [13(x-1) + 13/4 + 3(x+1) + 27/4] . [13/4 + 13(x-1) + 27/4 + 3(x+1)] >= {căn [13.(x-1).13/4] + căn [13/4.13.(x-1)] + căn [3.(x+1).27/4] + căn[27/4.3.(x+1)] } ^2 . (*) 
= {13 căn(x-1)+9 căn(x+1)} ^2 

<=> (16x)^2 >= [13 căn(x-1)+9 căn(x+1)] ^2 

<=> 16x >= 13 căn(x-1)+9 căn(x+1). 

Như vậy nghiệm của pt là giá trị của x, để bđt (*) xảy ra dấu bằng, nghĩa là: 
13.(x-1) / [13/4] = [13/4] / [13.(x-1)] = 3.(x+1) / [27/4] = [27/4] / [3.(x+1)]. 
Giải hpt này thu được nghiệm x=5/4.