LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

1 trả lời
Hỏi chi tiết
394
0
0
Nguyễn Thị Thảo Vân
12/12/2017 01:48:00
1. Tính diện tích hình phẳng.
a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục t trên đoạn \([a;b]\); trục hoành và hai đường thẳng \(x = a; x = b\) (h.1), thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức:
\(S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx\)             (1)
Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu của \(f(x)\) trên đoạn \([a,b]\). Nếu \(f(x)\) không đổi dấu 
trên khoảng \((c;d) ⊂ [a;b]\) thì :
\(\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|\)
Chẳng hạn theo hình 1 ta có:
\(\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^ f (x)dx} \right| + \left| {\int_^ f (x)dx} \right| \)\(+ \left| {\int_^ f (x)dx} \right| + \left| {\int_^b f (x)dx} \right|\) 
b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm sô y= f1(x) và y =f2(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng \( x = a, x = b\) (h.2) thì diện tích S được cho bởi công thức :
                                \(\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx\)         (2)
Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f1(x)  - f2(x) trên đoạn \([a;b]\) hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng \((a;b)\), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình : f(x)= f1(x)  - f2(x) = 0, tìm các nghiệm xi ∈ (a;b) .
Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:
                                         x1 < x2 < … < xn.
Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):
\(S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^ f (x)dx} \right| + \left| {\int_^ f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_^b f (x)dx} \right|\)
Chẳng hạn theo hình 2 thì f(x) có hai nghiệm c1, c2 ∈ (a;b) nên ta có:
\(S = \int_a^b f (x)dx = \left| {\int_a^ f (x)dx} \right| + \left| {\int_^ {f\left( x \right)d{\rm{x}}} } \right| \)\(+ \left| {\int_^b f (x)dx} \right|\)
Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a, x = b\) thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x1, b được thay thế bởi xn.
Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f1(x) = 0 hoặc y = f2(x) = 0.
Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g1(y), x = g2(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức:
                                       $$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$ .
2. Thể tích vật thể
Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
x = a, x = b (a<b). S(x) là diện tích của thiết diện của  được cho bởi công thức: \(V = \int_a^b S (x)dx\) (với S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).

3. Thể tích khối tròn xoay
a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) không âm và liên tục trên đoạn \([a;b]\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) quay quanh trục \(Ox\), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  Vx của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:
                            $${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$
b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\) không âm và liên tục trên đoạn \([c;d]\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = c, y = d\) quay quanh trục \(Oy\), ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:
                          $${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$
Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a\),
\(x = b\) và độ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục và 0 ≤  f1(x) ≤ f2(x) trên đoạn \([a;b]\) quay quanh trục \(Ox\) được cho bởi công thức:
                         $${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$
Tương tự, đổi vai trò \(x\) và \(y\) cho nhau, ta có công thức tính  Vy (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).
 
               
                             

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư