Đặt xy/z=a; yz/x=b; xz/y=c
=> y^2=ab
x^2=ac
z^2=bc
Vì x,y,z dương nên a,b,c dương
Bài toán đã cho trở thành:
Tìm GTNN của: A = a+b+c với a,b,c là các số dương và ab+bc+ca = 1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
a^2+b^2≥ 2√a^2b^2=2ab
Tương tự: b^2+c^2 ≥ 2bc
c^2+a^2 ≥ 2ca
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta đc:
2(a^2+b^2+c^2) ≥ 2(ab+bc+ca)
<=> a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca
Suy ra (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca ≥ ab+bc+ca + 2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)=3
=> A=a+b+c≥√3
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/√3 <=> x=y=z=1/√3