câu 4
a.
vì tam giác AHB vuông tại H, đường cao HD, theo hệ thức lượng, ta được
AD.AB = AH^2
vì tam giác AHC vuông tại H, đường cao HE, theo hệ thức lượng, ta được
AE.AC = AH^2
kết hợp với trên, ta được
AD.AB = AE.AC
b.
vì tam giác AHB vuông tại H, đường cao HD
suy ra 1/HD^2 = 1/AH^2 + 1/BH^2
vì tam giác AHC vuông tại H, đường cao HE
suy ra 1/HE^2 = 1/AH^2 + 1/HC^2
cộng vế với vế của từng đẳng thức trên, ta được
1/HD^2 + 1/HE^2 = 2/AH^2 + 1/BH^2 + 1/HC^2

câu 3
vì tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, theo hệ thức lượng, ta được
+) AB^2 = BH.BC
+) AC^2 = CH.BC
suy ra AB^2/AC^2 = (BH.BC)/(CH.BC)
suy ra BH/CH = AB^2/AC^2
vì AB^2 = BH.BC
suy ra AB^2.BH = BH^2.BC
suy ra BH = BC. (BH/AB)^2
mà cosABH = BH/AB
suy ra BH = BC.cosB^2

câu 6
xét a + b + c - √(ab) - √(bc) - √(ca) (a, b, c >= 0)
= 1/2. (2a + 2b + 2c - 2√(ab) - 2√(bc) - 2√(ca))
= 1/2. ((a - 2√(ab) + b) + (b - 2√(bc) + c) + (c - 2√(ca) + a))
= 1/2.((√(a) - √(b))^2 + (√(b) - √(c))^2 + (√(c) - √(a))^2)
vì (√(a) - √(b))^2 + (√(b) - √(c))^2 + (√(c) - √(a))^2 >= 0 với mọi a, b, c tmdk
suy ra 1/2.((√(a) - √(b))^2 + (√(b) - √(c))^2 + (√(c) - √(a))^2) >= 0 với mọi a, b, c tmdk
suy ra a + b + c - √(ab) - √(bc) - √(ca) >= 0 với mọi a, b, c tmdk
hay a + b + c >= √(ab) + √(bc) + √(ca)
dấu bằng xảy ra khi a = b = c

thu trang giải sai rồi nhé đang căn x-3 sao nhảy qua căn x+3 thế :V 

câu 6 cách khác biến đổi trực tiếp

Bài 3: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC đường cao AH ta có:
AB^2=BH.BC
AC^2=CH.BC
Chia vế theo vế
=>BH/CH=AB^2/AC^2(DPCM)
Ta có:
BC.cos B=AB
Mặt khác AB.cos B=BH
Thế AB=BC.cos B vào
=>BC.cos^2B=BH(DPCM)

Câu 5:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
HB.HC=AH^2=14^2
Mặt khác:HB/HC=1/4=>HC=4HB
Thế vào:
4HB^2=14^2
=>HB^2=49
=>HB=7
=>HC=28
=>BC=7+28=35(cm)
=>AB^2=BH.BC=7.35=245
=>AB=7 căn(5)
=>AC=14 căn(5)
=>AB+AC+BC=21 căn(5)+35