VD 15
a, Có A = 1997.1999 = (1998-1)(1998+1) = 1998^2 - 1 < 1998^2
=> A < B
b, Có C = 1994.1996.1998^2 = (1995-1)(1995+1).1998^2 = 1995^2.1998^2 - 1998^2
         D = 1995^2.1997.1999 = 1995^2.(1998-1)(1998+1) = 1995^2.1998^2 - 1995^2
Vì -1998^2 < -1995^2
=> 1995^2.1998^2 - 1998^2 < 1995^2.1998^2 - 1995^2
=> C < D
 

VD16
a, Có a+b+c = 2p
=> (a+b+c)^2 = (2p)^2
=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 4p^2
Thay vào biểu thức 4p(p-a) ta có:
4p(p-a)
= 4p^2 - 4pa
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc - 2a(a+b+c)
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc - 2a^2 - 2ab - 2ac
= b^2 + c^2 - a^2 + 2bc (ĐPCM)
Vậy với a+b+c = 2p thì 4p(p-a) = b^2 + c^2 - a^2 + 2bc
d, Có a^3 + b^3 + c^3
= a^3 + 3a^2.b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2.b - 3ab^2 - 3abc + 3abc
= (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b+c) + 3abc
= (a+b+c)[(a+b)^2 - c(a+b) + c^2] - 3ab(a+b+c) + 3abc
mà a+b+c = 0
=> 0.[(a+b)^2 - c(a+b) + c^2] - 3ab.0 + 3abc
= 0 - 0 + 3abc
= 3abc (đpcm)
Vậy với a+b+c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

VD16
f, Có a^64 - b^64
= (a^32 + b^32)(a^32 - b^32)
= (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^16 - b^16)
= (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^8 + b^8)(a^8 - b^8)
= (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^8 + b^8)(a^4 + b^4)(a^4 - b^4)
= (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^8 + b^8)(a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)
= (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^8 + b^8)(a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)
​mà a = b+1 => a - b = 1
=> (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^8 + b^8)(a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b).1
= (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^8 + b^8)(a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b)
Vậy với a = b+1 thì (a^32 + b^32)(a^16 + b^16)(a^8 + b^8)(a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b) = a^64 - b^64

VD16
b, Có x+y = a
=> (x+y)^2 = a^2
=> x^2 + 2xy + y^2 = a^2
mà xy = b
=> x^2 + 2b + y^2 = a^2
=> x^2 + y^2 = a^2 - 2b (ĐPCM)
Lại có x+y = a
=> (x+y)^3 = a^3
=> x^3 + 3x^2.y + 3xy^2 + y^3 = a^3
=> x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = a^3
=> x^3 + y^3 + 3xya = a^3
mà xy = b
=> x^3 + y^3 + 3ab = a^3
=> x^3 + y^3 = a^3 - 3ab (đpcm)
Vậy với x+y = a và xy = b thì x^2 + y^2 = a^2 - 2b và x^3 + y^3 = a^3 - 3ab
g, Có (a^3 + b^3)/(a^3 + c^3)
= (a+b)(a^2 - ab + b^2)/(a+c)/(a^2 - ac + b^2)
mà a = b+c
=> (a+b)[(b+c)^2 - (b+c).b + b^2]/(a+c)[(b+c)^2 - (b+c).c + c^2]
= (a+b)(b^2 + c^2 + 2bc - bc - b^2 + b^2)/(a+c)(b^2 + c^2 + 2bc - bc - c^2 + c^2)
= (a+b)(b^2 + bc + c^2)/(a+c)(b^2 + bc + c^2)
= (a+b)/(a+c) (ĐPCM)
Vậy với a = b+c thì (a^3 + b^3)/(a^3 + c^3) = (a+b)/(a+c)

VD15
c, F = 3^32 - 1
       = (3^16 + 1)(3^16 - 1)
       = (3^16 + 1)(3^8 + 1)(3^8 - 1)
       = (3^16 + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^4 - 1)
       = (3^16 + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3^2 - 1)
       = (3^16 + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3 + 1)(3-1)
       = (3^16 + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3 + 1).2 > (3^16 + 1)(3^8 + 1)(3^4 + 1)(3^2 + 1)(3 + 1)
=> F > E
hay E < F
VD16
c, Có (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
= a^2.c^2 + a^2.d^2 + b^2.c^2 + b^2.d^2
= a^2.c^2 + b^2.d^2 + a^2.d^2 + b^2.c^2
= a^2.c^2 + 2abcd +  b^2.d^2 + a^2.d^2 - 2abcd + b^2.c^2 
= (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2  (đpcm)
Vậy (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2

VD14
b, B = -x^2 + x + 6
       = -(x^2 - x + 1/4) + 6 + 1/4
       = -(x-1/2)^2 + 25/4 ≤ 25/4
Dấu "=" xảy ra <=> x-1/2 = 0
                      <=> x = 1/2
Vậy Max B = 25/4 <=> x = 1/2
d, D = -x^2 + 2x - 4y^2 - 4y + 5
       = -(x^2 - 2x + 1) - (4y^2 + 4y + 1) + 2 + 5
       = -(x-1)^2 - (2y+1)^2 + 7 ≤ 7
Dấu "=" xảy ra <=> x-1 = 0
                              2y+1 = 0
                      <=> x = 1
                             y = -1/2
Vậy Max D = 7 <=> x = 1 và y = -1/2