Cho hàm phân thức \[ f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d}{ex + f}, \quad a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}, \quad (e, f) \neq (0, 0). \] Yêu cầu: a) Tập xác định \(D\). b) Phân tích thành đa thức bậc hai cộng dư: tìm \(P(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma\) và \(R(x) = \frac{rx + s}{ex + f}\) sao cho \[ f(x) = P(x) + R(x). \] Biểu diễn \(\alpha, \beta, \gamma, r, s\) theo \(a, b, c, d, e, f\). c) Tiếp cận tiệm cận ngang/nghiêng/dưới: xác định tiệm cận khi \(x \to \pm \infty\) và tại điểm \(x = -\frac{f}{e}\) (nếu \(e \neq 0\)). d) Tính \(f'(x)\) dưới dạng phân thức, viết từ số \(N(x)\) là đa thức bậc 3 và mẫu \(D(x) = (ex + f)^2\). Viết biểu thức \(N(x)\) theo tham số \(a, b, c, d, e, f\) Cho đa thức bậc bốn \[ P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}. \] Thực hiện các yêu cầu: a) Giả sử \( P(1) = 0 \) và \( P(-1) = 0 \). Viết \( P(x) \) dưới dạng tích hai đa thức bậc hai có hệ số thực (tìm \( p, q, r, s \in \mathbb{R} \) sao cho \( P(x) = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s) \). Viết mỗi liên hệ giữa \( a, b, c, d \) và \( p, q, r, s \). b) Tìm điều kiện trên \( a, b, c, d \) để \( x = 1 \) là nghiệm bội bậc \( \geq 2 \) của \( P \). c) Tìm điều kiện để \( P(x) \) có nghiệm thực đôi (hai nghiệm kép khác nhau). Viết dạng nhân tử trong trường hợp đó. d) Cho điều kiện \( P(x) \geq 0 \) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \). Viết điều kiện cần-đủ dưới dạng bất phương trình trên các tham số Xét hệ tuyến tính theo ẩn x, y, z và tham số a, b, c, d, e ∈ ℝ: \[ \begin{cases} x + ay + bz = e \\ ax + y + cx = 0 \\ bx + cy + dz = 1 \end{cases} \] Gọi ma trận hệ \( M = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & c \\ b & c & d \end{pmatrix} \) và vectơ về phía \( r = (e, 0, 1)^T \). Yêu cầu: a) Tính định thức \( \Delta = \det(M) \) (theo a, b, c, d). b) Co điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất; nếu có nghiệm duy nhất hãy viết nghiệm theo Cramer. c) Tìm điều kiện để hệ có nghiệm hoặc vô số nghiệm (dựa vào \( \Delta \) và các định thức bổ sung). Viết điều kiện tương đương bằng các biểu thức \( \Delta_x, \Delta_y, \Delta_z \). d) Xét trường hợp đặc biệt (a = 1). Phân tích các khả năng (Δ ≠ 0 với b ≠ c, Δ = 0 với b = c) và cho ví dụ cụ thể (chọn b, c, d, e) cho từng khả năng 
1
