Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số y=f'x như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số M=max0;2a;a+1 để hàm số y=fx+1+20mln2−x2+x nghịch biến trên khoảng (-1;1)?

Đáp án D

Hàm số y=fx+1+20mln2−x2+x  xác định trên (-1;1).

Ta có:y'=f'x+1+20m.−44−x2 .

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi

y'≤0,∀x∈−1;1⇒f'x+1−80m4−x2≤0,∀x∈−1;1 (*).

Đặt t=x+1 khi đó x∈−1;1⇒t∈0;2 .

Từ (*) ta có  f't−80m.13−tt+1≤0,∀t∈0;2

⇒80m≥f't.3−tt+1,∀t∈0;2 (1).

Dựa vào đồ thị hàm số y=f'x  ta có f'x=−x+12x−2  .

Suy ra ta có f't=−t+12t−2 .

Xét hàm số VP1=gt=−t+12t−23−tt+1,∀t∈0;2 .

g't=−t+12−5t2+18t−13=0⇔t=−1t=135t=1

.Bảng biến thiên hàm g(t) 

Dựa vào bảng xét dấu và từ (1) ta có80m≥max0;2gt=g1⇔80m≥16⇔m≤5 .