Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị f'x như hình vẽ bên dưới Bất phương trình log5fx+m+2+fx>4−m nghiệm đúng với mọi x∈−1;4 khi và chỉ khi

Đáp án D

Bất phương trình đã cho tương đương với: m>4−log5fx+m+2−fx , ∀x∈−1;4 .

Xét hàm số gx=4−log5fx+m+2−fx  trên −1;4 .

Bài toán trở thành tìm m để m>gx  ,∀x∈−1;4⇔m≥max−1;4gx .

Ta có  g'x=−f'xfx+m+2ln5−f'x=−f'x1fx+m+2ln5+1=0⇔x=−1x=1x=4

Bảng biến thiên hàm g(x) trên  0;3

 Trong đó:  g−1=4−log5f−1+m+2−f−1g4=4−log5f4+m+2−f4

Dựa vào đồ thị , ta có ∫−11f'xdx<∫41f'xdx⇔f1−f−1f4 .

Suy ra g−1

Do đó ta có m≥max−1;4gx=g4=4−log5f4+m+2−f4

Đặt t=f4+m+2   (với t>0).

Bất phương trình trở thành: t+log5t≥6⇔t≥5 .

Do đó: f4+m+2≥5⇔m≥3−f4 .

Vậy m≥3−f4 .