Cho hai đường thẳng x'x, y'y chéo nhau và vuông góc với nhau. Trên x'x lấy cố định điểm A, trên y'y lấy cố định điểm B sao cho AB cùng vuông góc với Ax, By và AB = 2020 cm. Gọi CD là hai điểm lần lượt di chuyển trên hai tia Ax, By sao cho AC + BD = AD. Hỏi bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Phương pháp:

- Đặt AC=x,BD=yx,y>0⇒CD=x+y.

- Sử dụng định lí Pytago tìm xy.

- Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

- Áp dụng BĐT Cô-si.

Cách giải:

Ta có: AC⊥BDAC⊥AB⇒AC⊥ABD.

Đặt AC=x,BD=yx,y>0⇒CD=x+y.

Áp dụng định lí Pytago ta có:

AD2=20202+y2

CD2=AC2+AD2

⇒x+y2=x2+20202+y2

⇒xy=202022

Gọi I là trung điểm của CD.

Ta có: BD⊥ABBD⊥AC⇒BD⊥ABC⇒BD⊥BC.

Vì ΔACD,ΔBCD là các tam giác vuông tại A, B nên IA=IB=12CD=IC=ID⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD bán kính R=12CD.

Ta có R=12CD=x+y2≥xy=202022≈1428,355.

Chọn B.