Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 28x+2x+1+1−43x−y+2x+2+2x+2y−3≥0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2+6x+4y gần nhất với số nào dưới đây?

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

Cách giải:

Ta có:

28x+2x+1+1−43x−y+2x+2+2x+2y−3≥0

⇔28x+2x+1+1−26x−2y+2x+1+4+2x+2y−3≥0

⇔28x+2x+1+1+8x+2x+1+1≥26x−2y+2x+1+4+6x−2y+2x+1+4 *

Xét hàm số ft=2t+t ta có f't=2tln2+1>0∀t∈ℝ, suy ra hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.

Do đó

*⇔8x+2x+1+1≥6x−2y+2x+1+4

⇔2x+2y−3≥0⇔y≥3−2x2

Khi đó ta có

P=x2+y2+6x+4y

⇔P≥x2+3−2x22+6x+4.3−2x2

⇔P≥x2+4x2−12x+94+6x+6−4x

⇔P≥2x2−x+334

⇔P≥2x2−2x.14+116+658

⇔P≥2x−142+658≥658=8,125

Pmin=8,125⇔x=14.

Chọn D.