Cho các số thực \[a,b > 1\] và phương trình \[{\log _a}\left( {ax} \right).{\log _b}\left( {bx} \right) = 2020\] có hai nghiệm phân biệt m và n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)\left( {36{m^2}{n^2} + 1} \right).\]

Đáp án A

Phương trình \( \Leftrightarrow \left( {1 + {{\log }_a}x} \right)\left( {1 + {{\log }_b}x} \right) = 2020\)

\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _b}x + {\log _a}x + {\log _b}x - 2019 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _b}a{\left( {{{\log }_a}x} \right)^2} + \left( {1 + {{\log }_b}a} \right){\log _a}x - 2019 = 0\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm vì \(P < 0\), theo Vi-ét ta có:

\({\log _a}m + {\log _a}n = - \frac{{{{\log }_b}a}} = - {\log _a}b - 1 = {\log _a}\left( {\frac{1}} \right) \Leftrightarrow mn = \frac{1}\).

Suy ra \(P = \left( {4{{\rm{a}}^2} + 9{b^2}} \right)\left( {\frac{{{a^2}{b^2}}} + 1} \right) \ge 2\sqrt {4{{\rm{a}}^2}.9{b^2}} .2\sqrt {\frac{{{a^2}{b^2}}}} = 144\).