Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[f\left( 3 \right) = 21\], \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 9\]. Tính tích phân \[I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \].

Đáp án A

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( {3{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = d{\rm{x}}\\v = \frac{1}{3}f\left( {3{\rm{x}}} \right)\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {3{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = \left. {\frac{1}{3}xf\left( {3{\rm{x}}} \right)} \right|_0^1 - \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( {3{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \mathop = \limits^{t = 3{\rm{x}}} \frac{1}{3}f\left( 3 \right) - \frac{1}{9}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt} = 7 - 1 = 6\).

Suy ra \(I = 6\).