Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - z - 2 = 0,\] \[\left( Q \right):x + 3y - 12 = 0\] đường thẳng \[d:\frac{3} = \frac{{ - 1}} = \frac{2}.\] Viết phương trình mặt phẳng \[\left( R \right)\] chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( P \right),\left( Q \right).\]

Đáp án D

VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow \left( {1;1; - 1} \right)\), VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow \left( {1;3;0} \right)\). Gọi \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Khi đó VTCP của \(d'\) là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow ;\overrightarrow } \right] = \left( {3; - 1;2} \right)\) cũng là VTCP của \(d \Rightarrow d{\rm{ // d'}}\).

\(A\left( {1; - 2; - 1} \right) \in {\rm{d}},{\rm{ B}}\left( {0;4;2} \right) \in {\rm{d'}}\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;6;3} \right)\), VTCP của \(\left( R \right)\) là: \(\overrightarrow n \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {15;11; - 17} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) là: \(\left( R \right):15\left( {x - 0} \right) + 11\left( {y - 4} \right) - 17\left( {z - 2} \right) = 0\) hay

\(\left( R \right):15{\rm{x}} + 11y - 17{\rm{z}} - 10 = 0\).