Cho hai dãy số (x_n) với xn=n+1!2n và (y_n) với y_n = n + sin²(n + 1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trả lời:

Xét thương :

xn+1xn=n+2!2n+1n+1!2n

xn+1xn=n+2!2n+1.2nn+1!

xn+1xn=n+22=n2+1>1,∀n≥1

⇒xn+1>xn

→ (x_n) là dãy tăng

Xét hiệu:

yn+1−yn=n+1+sin2n+2−n−sin2n+1

yn+1−yn=sin2n+2−sin2n+1+1

Vì: sin2n+2≥0−sin2n+2≥−1

⇒sin2n+2−sin2n+1≥−1

⇒sin2n+2−sin2n+1+1≥0,∀n≥1

Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để

sin2n+2=0−sin2n+1=−1

Vây sin2n+2−sin2n+1+1>0,∀n≥1

⇒yn+1>yn

Do đó (y_n) là dãy tăng.

Đáp án cần chọn là: D