Biết rằng \[\int\limits_1^2 {x{{\left( {x - 1} \right)}^n}dx} = \frac,\] với \[n \in {\mathbb{N}^*}.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Lời giải:

Chọn đáp án B

Xét \(I = \int\limits_1^2 {x{{\left( {x - 1} \right)}^n}dx} \). Đặt \(x = 1 = t \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {t + 1} \right){t^n}d\left( {t + 1} \right)} = \int\limits_0^1 {\left( {{t^{n + 1}} + {t^n}} \right)dt} \)

\( \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{{t^{n + 2}}}} + \frac{{{t^{n + 1}}}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1} + \frac{1} = \frac \Rightarrow n = 12\).