Cho khối chóp S.ABCcó hai điểm \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt thuộc hai cạnh \[SA,{\rm{ }}SB\] sao cho \[MA = 2MS,{\rm{ }}NS = 2NB.\] Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích t của hai khối đa diện đó, biết \[t < 1.\]

Lời giải:

Chọn đáp án D

Thiết diện là tứ giác MNPQnhư hình vẽ với \(NP{\rm{ // MQ // SC}}\).

Ta có \({V_{MNABPQ}} = {V_{N.ABPQ}} + {V_{N.AMQ}}\).

+ \({V_{N.ABPQ}} = \frac{1}{3}d\left( {N;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABPQ}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).\left( {{S_{ABC}} - {S_{CPQ}}} \right).\)

+ \(\frac{{{S_{CPQ}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac.\frac = \frac{2}{3}.\frac{1}{3} \Rightarrow {S_{CPQ}} = \frac{2}{9}{S_{ABC}} \Rightarrow {V_{N.ABPQ}} = \frac{1}{9}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).\frac{7}{9}{S_{ABC}} = \frac{7}{V_{S.ABC}}.\)

\({V_{N.AMQ}} = \frac{1}{3}d\left( {N;\left( {AMQ} \right)} \right).{S_{AMQ}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right).\frac{4}{9}{S_{SAC}} = \frac{8}{V_{S.ABC}}\)

\( \Rightarrow {V_{MNABPQ}} = {V_{N.ABPQ}} + {V_{N.AMQ}} = \frac{5}{9}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_{SMNPCQ}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow t = \frac{{{V_{SMNPCQ}}}}{{{V_{MNABPQ}}}} = \frac{4}{5}.\)