Cho \[x,y\] là các số thực dương thỏa mãn \[{5^{x + 2y}} + \frac{3}{{{3^{xy}}}} + x + 1 = \frac{{{5^{xy}}}}{5} + {3^{ - x - 2y}} + y\left( {x - 2} \right).\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = x + y.\]

Lời giải:

Chọn đáp án B

Ta có \({5^{x + 2y}} - \frac{1}{{{3^{x + 2y}}}} + x + 2y = {5^{xy - 1}} - \frac{1}{{{3^{xy - 1}}}} + xy - 1\)(1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} - \frac{1}{{{3^t}}} + t\), với \(t >0\) có \(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} + 1 >0,\forall t >0.\)

Khi đó (1) \( \Leftrightarrow x + 2y = xy - 1 \Leftrightarrow y\left( {x - 2} \right) = x + 1 \Rightarrow x >2\) và \(y = \frac\).

\( \Rightarrow P = x + \frac = x + 1 + \frac{3} = \left( {x - 2} \right) + \frac{3} + 3 \ge 2\sqrt 3 + 3.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac}\\{x - 2 = \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 + \sqrt 3 }\\{x = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\).