Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right) = 5;{\rm{ }}g\left( x \right) = - x.f'\left( x \right);{\rm{ }}f\left( x \right) = - x.g'\left( x \right).\] Tính \[I = \int\limits_1^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} .\]

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \(f\left( x \right) + g\left( x \right) = - x\left[ {f'\left( x \right) + g'\left( x \right)} \right]\)

\( \Rightarrow \int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = - \int {x\left[ {f'\left( x \right) + g'\left( x \right)} \right]dx} = - \int {xd\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \)

\( \Rightarrow \int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = - x\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] + C + \int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)

\( \Rightarrow x\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = C \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{C}{x}.\)

Bài ra \(f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right) = 5 \Rightarrow 5 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 10 \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{x}\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_1^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \left. {\int\limits_1^9 {\frac{x}dx} = 10\ln \left| x \right|} \right|_1^9 = 10\ln 9 = 20\ln 3.\)