Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Biết \(f\left( 2 \right) + f\left( 6 \right) = 2f\left( 3 \right).\) Tập nghiệm của phương trình \(f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right)\) có số phần tử bằng

Theo đề bài \(f\left( 2 \right) + f\left( 6 \right) = 2f\left( 3 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) = f\left( 3 \right) - f\left( 6 \right).\)

Do \(f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 6 \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( 3 \right) < f\left( 6 \right).\)

Do \(X = {x^2} + 1 \ge 1.\)

Ta có bảng biến thiên

Xét đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\left( P \right).\)Ta có \(f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 3\\{x^2} + 1 = b\left( {4 < b < 6} \right)\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Dựa vào đồ thị \(\left( P \right)\) suy ra:

+ Phương trình \({x^2} + 1 = a\) vô nghiệm.

+ Phương trình \({x^2} + 1 = 3\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \({x^2} + 1 = b\) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình \(f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án D.