Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]?

Phương pháp giải:

- Để hàm số đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] thì \[y' \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\].

- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \[m \le g\left( x \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\].

- Sử dụng BĐT Cô-si tìm \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\].

Giải chi tiết:

TXĐ: \[D = \left( {0; + \infty } \right)\].

Ta có: \[y' = 2x + 8.\frac{2} - m = 2x + \frac{8}{x} - m\]

Để hàm số đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] thì \[y' \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\].

\[ \Leftrightarrow 2x + \frac{8}{x} - m \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\]

\[ \Leftrightarrow m \le 2x + \frac{8}{x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\].

Đặt \[g\left( x \right) = 2x + \frac{8}{x}\], khi đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\].

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \[2x + \frac{8}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{8}{x}} = 2.4 = 8\] \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = 8\], dấu “=” xảy ra \[ \Rightarrow 2x = \frac{8}{x} \Leftrightarrow x = 2\].

Từ đó ta suy ra được \[m \le 8\], kết hợp điều kiện \[m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\].

Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D