Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số y= -x3+3⁢x2+m⁢x+1 nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm y'

- Để hàm số nghịch biến trên (0;+∞) thì y'≤0⁢∀x∈(0;+∞).

- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng ⇔m≤f⁢(x)⁢∀x∈(0;+∞)⇔m≤min[0;+∞)f⁢(x)

- Lập BBT hàm số f⁢(x) và kết luận.

Giải chi tiết:

TXĐ: D=R. Ta có y'=⁢ -3⁢x2+6⁢x+m.

Để hàm số nghịch biến trên (0;+∞) thì y'≤0⁢∀x∈(0;+∞)

⇔-3⁢x2+6⁢x+m≤0⁢∀x∈(0;+∞)

⇔m≤3⁢x2-6⁢x=f⁢(x)⁢∀x∈(0;+∞)

⇔m≤min[0;+∞)f⁢(x)

Ta có: f'⁢(x)=6⁢x-6=0⇔x=1∈(0;+∞)

BBT:

Vậy m≤ -3.