Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO = 2MI.\) Khi đó côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng

Gọi \(F,P,Q\) lần lượt là trung điểm \(AB,C'D',BD\)

Do \(\left. \begin{array}{l}C'D' \bot IP\\C'D' \bot OI\end{array} \right\} \Rightarrow CD' \bot \left( {FMP} \right),\left( {FMP} \right) \equiv \left( {OIP} \right)\)

Kẻ \(NM//C'D'(N \in AA'D'D) \Rightarrow NM \bot \left( {FMP} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NM \bot MP\\NM \bot MF\end{array} \right.\)

Do đó góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng góc \({180^0} - \widehat {FMP}\)

Đặt độ dài cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là a.

Ta có: \(MI = \frac{a}{6},IP = \frac{a}{2},FP = AD' = a\sqrt 2 .\)

Áp dụng pitago cho tam giác vuông \(MIP:MP = \sqrt {M{I^2} + P{I^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{6}\)

Ta có: \(MQ = \frac{6},QF = \frac{a}{2}\), áp dụng pitago cho tam giác vuông

\(MQF:MF = \sqrt {M{Q^2} + Q{F^2}} = \frac{{a\sqrt {34} }}{6}\)

Áp dụng định lí hàm số côsin cho tam giác \(MFP\)

\(\cos \widehat {FMP} = \frac{{M{F^2} + M{P^2} - F{P^2}}} = - \frac{{7\sqrt {85} }}\)

Vậy côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng \(\frac{{7\sqrt {85} }}.\)

Đáp án D