Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(2x - 2y - z + 9 = 0\) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 100\]. Tọa độ điểm \(M\) nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\] sao cho khoảng cách từ điểm \({\rm{M}}\) đến mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[{\rm{I}}\left( {3\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\] và bán kính \({\rm{R}} = 10\).

Khoảng cách từ \({\rm{I}}\) đến mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) là \({\rm{d}}\left( {{\rm{I}}\,,\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) = 6 < {\rm{R}}\) nên \(\left( {\rm{P}} \right)\) cắt \[\left( S \right)\].

Khoảng cách từ \({\rm{M}}\) thuộc \[\left( S \right)\] đến \(\left( {\rm{P}} \right)\) lớn nhất

\( \Rightarrow M \in \left( d \right)\) đi qua I và vuông góc với \(\left( {\rm{P}} \right)\). Phương trình \(\left( d \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = - 2 - 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\).

Ta có \[M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( {3 + 2t\,;\,\, - 2 - 2t\,;\,\,1 - t} \right).\]

Mà \(M \in \left( {\rm{P}} \right)\) nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{3} \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{3};\,\, - \frac{3};\,\, - \frac{7}{3}} \right)}\\{t = - \frac{3} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{3};\,\,\frac{3};\,\,\frac{3}} \right)}\end{array}} \right..\)

Thử lại: Ta thấy \({\rm{d}}\left( {{{\rm{M}}_1},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) > {\rm{d}}\left( {{{\rm{M}}_2},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right)\).

Do đó \({\rm{M}}\left( {\frac{3};\,\, - \frac{3};\,\, - \frac{7}{3}} \right)\) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn C.